Objective Questions on Rational Numbers

By Rahul Last updated Jan 28, 2023

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Objective Questions on Rational Numbers

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What is Rational Number (परिमेय संख्या क्या है )

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके ‘परिमेय संख्याएँ’ कहलाती हैं जहाँ p और q दोनों पूर्णांक हो लेकिन q कभी शून्य न हो।

एक पूर्णांक को दुसरे पूर्णांक (शून्य को छोड़कर) से भाग देने पर जो लघुत्तम प्राप्त होता है।

जैसे- 7, -2, 3/5, -2/4, -2/-6, 3/-7, 0 ……… आदि ‘परिमेय संख्याएँ’ हैं।

जब एक संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करते हैं तो निम्न प्रकार के परिणाम प्राप्त होते हैं –
★ शेषफल शून्य हो जाता है या खुद की ही पुनरावृत्ति शुरू कर देता है
★ शेषों की पुनरावृत्ति श्रृंखला (repeatition seroes) में प्रविष्टियों (entries) की संख्या भाजक (divisor) से कम होती है
★ शेषों की पुनरावृत्ति (repeating) होती है तो भागफल (quotient) में अंकों का एक पुनरावृत्ति खण्ड प्राप्त होता है ।

(terminating decimal)

यदि शेष (remainder) शून्य हो जाता है, ऐसी संख्याओं के दशमलव प्रसार (decimal expansion) को सांत दशमलव (terminating decimal) कहते हैं ।
उदाहरण : 7/8 = 0.875 1/2 = 0.5 2/5 = 0.4
( इस प्रकार की संख्याऐं परिमेय होती हैं )

अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring)

कुछ चरणों के बाद कुछ संख्याओं की पुनरावृत्ति होने लगती है या भागफल में अंकों का एक पुनरावृत्ति खण्ड प्राप्त होता है इस प्रकार के दशमलव प्रसार को अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) कहते हैं ।

उदाहरण : 1/7 = 0.142857142857142857……..
1/3 = 0.33333….
( इस प्रकार की संख्याऐं परिमेय होती हैं )

rational vs irrational numbers

यदि भागफल में अनियमित रूप से (randomly) विभिन्न प्रकार की संख्याऐं प्राप्त होती हैं तो इस प्रकार के दशमलव प्रसार की अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non recurring) कहा जाता है ।
उदाहरण : 0.10110111011110….. , 1.414213562373095048801……… , 3.141592653589793238…….
( इस प्रकार की संख्याऐं अपरिमेय होती हैं )

कुछ याद रखने योग्य

परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय
● परिमेय – अपरिमेय = अपरिमेय
● परिमेय x अपरिमेय = अपरिमेय
● परिमेय ÷ अपरिमेय = अपरिमेय
● यदि दो अपरिमेय संख्याओं को परस्पर जोड़ें, घटायें, गुणा करें या भाग करें तो परिणाम कुछ भी हो सकता है परिमेय भी और अपरिमेय भी ।

कुछ याद रखने योग्य सर्वसमिकाएं (some important identities)

( जबकि a और b धनात्मक वास्तविक संख्याऐं हैं )
(i) √ab = √a√b
(ii) √(a/b) = √a/√b
(iii) (√a+√b)(√a-√b) = a-b
(iv) (a+√b)(a-√b) = a2-b
(v) (√a+√b)(√c+√d) = √ac+√ad+√bc+√bd
(vi) (√a+√b)2 = a+b+2√ab

हर का परिमेयकरण करना (rationalisation of denominator) :

उदाहरण के तौर पर 1/√2 के हर का परिमेयकरण करना है –
जैसा की आप जानते हैं कि अंश व हर में समान संख्या से गुणा कर देने पर संख्या का मान नहीं बदलता तो
1/√2 के अंश व हर में √2 से गुना करते हैं
1/√2 x √2/√2 = √2/2
अब संख्या का हर 2 है जोकि एक परिमेय संख्या है ।
अन्य उदाहरण :

1/3-√2 के हर का परिमेयकरण करो
1/3-√2 x 3+√2/3+√2 ( उसी संख्या से गुना करते हैं केवल चिन्ह बदलते हैं )
= 3+√2/9-2 = 3+√2/7
अब हर 7 है जोकि एक परिमेय संख्या है ।

What is Irrational Number (अपरिमेय संख्या क्या है)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में न लिखा जा सके अपरिमेय संख्याएँ कहलाती है। जहाँ p और q दोनों पूर्णांक हो लेकिन q कभी शून्य न हो।

जैसे- …… आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

What is Rational number? Parimey sankhya kise kahte hai Parimey aparimey sankhya Rational vs irrational number परिमेय व् अपरिमेय संख्या परिमेय संख्या के गुणधर्म

1. वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 72 को भाग पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए और उस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी बताइए ?

(a) 2 , 4

(b) 4 , 8

(d) 4 , 5

उत्तर-(c)

2. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 3 , 4 प्रत्येक से विभाजित हो जाए !

(a) 36

(b) 25

(d) 100

उत्तर-(a)

3. वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 20 को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए और उस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी बताइए ?

(a) 5 , 10

(b) 4, 8

(d) 5 , 15

उत्तर-(a)

4. वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4 , 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए !

(a) 200

(b) 50

(d) 100

उत्तर-(d)

5. संख्या 215 में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए और प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात करें !

(a) 10 , 15

(b) 15 , 10

(d) 15 , 15

उत्तर-(a)

6. 0.49 दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात करो !

(a) 0.8

(b) 0.9

(d) 0.5

उत्तर-(c)

7. 1.44 दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात करो !

(a) 1.3

(b) 1.2

(d) 1.5

उत्तर-(b)

8. 6.25 दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात करो !

(a) 2.5

(b) 1.5

(d) 2.6

उत्तर-(a)

9. संख्या 86 में से क्या न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो और प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात करें !

(a) 5 , 4

(b) 4 , 6

(d) 5 , 7

उत्तर-(c)

10. संख्या 20 में कम से कम कितना जोड़ा जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए और प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात करें !

(a) 5 , 6

(b) 5 , 5

(d) 7 , 5

उत्तर-(b)

11. 496 का वर्गमूल होगा-

(a) 8,

(b) 42,

(d) 48,

उत्तर-(c)

12. किसी वर्ग कि भुजा कि लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 121 m2 है !

(a) 10 m

(b) 9 m

(d) 11

उत्तर-(d)

13 √90000 का मान क्या है ?

(a) 30,

(b) 300,

(d) 8

उत्तर-(b)

14. संख्या 40 में से क्या न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो और प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात करें !

(a) 5 , 4

(b) 4 , 6

(d) 7 , 3

उत्तर-(b)

15. एक माली 100 पौधों को बगीचे में इस तरह लगाना चाहता है कि पंक्तियों कि संख्या और पंक्ति में पौधों कि संख्या समान हो , संख्या ज्ञात करें

(a) 12 , 10

(b) 10 , 12

(d) 15 , 10

उत्तर-(c)

16. 0.25 का वर्गमूल होगा-

(a) 5

(b) 5.0

(d) 0.25.

उत्तर-(c)

17. 1764 का वर्गमूल होगा-

(a) 42,

(b) 24,

(d) 52

उत्तर-(a)

18. 256/441 का वर्गमूल होगा-

(a) 21/16

(b) 16/21

(d) कोई नहीं ।

उत्तर-(b)

19. 8100 का वर्गमूल होगा-

(a) 900,

(b) 90,

(d) संभव नहीं

उत्तर-(b)

20. एक कक्षा में 51 विधाथी है ! पी . टी . के अभ्यास के लिए पंक्तियों और काॅॅलम की संख्या समान रखने के लिए कितने विधाथी को इस व्यवस्था से बाहर रखना होगा ?

(a) 3

(b) 2

(d) 4

उत्तर-(b)

21. 900 का वर्गमूल होगा-

(a) 3,

(b) 30,

(d) कोई नहीं ।

उत्तर-(b)

22. 34.36 का वर्गमूल होगा-

(a) 6.5,

(b) 3.6,

(d) 3.4

उत्तर-(c).

23. 7744 का वर्गमूल होगा-

(a) 8,

(b) 88,

(d) संभव नहीं ।

उत्तर-(b)

24. 532 और 542 के बीच कितनी प्राकृत संख्या है ?

(a) 106

(b) 108

(d) 109

उत्तर-(a)

25. 4900 का वर्गमूल है-

(a) 700, .

(b) 70,

(d) 400.

उत्तर -(b)

26. (24)2 का मान कितना होगा ?

(a) 675

(b) 657

(d) 756

उत्तर-(c)

27. 11 का वर्ग होगा-

(a) 121

(b) 212

(d) 211

उत्तर -(a)

28. निम्न में √676 का वर्गमूल है-

(a) 26,

(b) 25,

(d) 62.

उत्तर-(a)

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